四年级下数学思维训练教程(尖子生)

1 四年级下期 第一讲 定义新运算 同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四 则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。 例 1 设 a、b 都表示数，规定 a△b＝3×a－2×b。 (1)求 4△3，3△4。 (2)这种运算有“交换律”吗？ (3)求(17△6)△2，17△(6△2)。 (4)这种运算有“结合律”吗？ (5)如果已知 5△b＝1，求 b。 解：像这样的题目叫做“定义新运算” 。这里， “△”当作一种新的运算符号来使用，它的 意义是：如等号右端所要求的那样，先求出 3×a 和 2×b 的值，再求出 3×a 与 2×b 的差。弄 清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以： (1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。 (2)由(1)可知，4△3 与 3△4 的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。 (3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝ 113。 17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。 (4)由(3)可知， (17△6)△2 与 17△(6△2) 的结果不同， 所以， 这种运算也没有 “结合律” 。 (5)因为 5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而 15－2b＝1，所以 2b＝15－1，2b＝14，b＝7。 通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算 的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按 照它的意义进行运算。 例 2 如果 a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？ 解： “＃”的意义是先求出 2×a 和 3×b，再求出 2×a 与 3×b 的和。 “*”的意义显然是 求 a、b 的平均数。 因为 3*5＝(3＋5)÷2＝4，所以，(3*5)＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。 例 3 规定：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中 a、b 表示自然数。 (1)求 1＆100 的值； (2)已知 x＆10＝75，求 x。 解：(1) a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1) ＝1＋(1＋1)＋(1＋2)＋…＋(1＋100－1) ＝1＋2＋3＋…＋100 ＝(1＋100)×100÷2 ＝101×100÷2 ＝5050。 (2) x＋(x＋1)＋(x＋2)＋…＋(x＋10－1)＝75 2 10 x＋(1＋2＋…＋9)＝75 10 x＋45＝75 10 x＝75－45 10 x＝30 x＝30÷10 x＝3 例 4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表 示： 羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。 以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只 剩下狼了。 小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号表示： 羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。 这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼， 当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。 对羊或狼， 可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右， 括号内先算。 运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果： 羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。 解：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼) ＝羊△羊★羊△狼 ＝羊★羊△狼 ＝羊△狼 ＝狼 练 习 一 1．设 a、b 都表示数，规定：a△b 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 a△b＝4×a－3×b。 试计算： (1)5△6； 6△5。 2．a、b 是自然数，规定 a＊b＝a×5＋b÷3，求 8＊9。 3．设 a▼b＝8×a－18÷b，求 7▼9＝？ 4．规定 ab＝(a＋3)×(b－5)，求 5(67)的值。 5．设 a▽b＝a×b＋a－b，试求 5▽8。 6．如果规定 a※b＝13×a－b÷8，那么 17※24 的最后结果是多少？ 7．设 a、b 都表示数，规定：a△b＝2×a＋b÷2。求 (1)10△6； (2)7△(4△8)。 8．规定 A＠B＝B×B－A，计算(2＠3)＠(4＠5)。 9．如果规定 a△b＝4×a＋3×b－1，那么 5△7 和 7△5 相等吗？ 10．对于两个数 x、y，x☉y 表示 y×A－x×2，并且已知 82☉65＝31。计算： 3 (1)29☉57；(2)38☉(14☉23)。 11．如果 3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算 2000◇6。 12．如果“＋、－、×、÷、( )”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数 字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？ (1)8×7＝8；(2)7×7×7＝6；(3)(7＋8＋3)×9＝39；(4)3×3＝3。 第二讲 图形问题(一) 例 1 有大、小两个正方形，它们的周长相差 16 厘米，面积相差 80 平方厘米，那么小正 方形的面积是多少平方厘米？ 解： 把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图， 因为它们的边长相差16÷4＝4(厘米)， 所以图中正方形 B 的面积是 4×4＝16(平方厘米)，又因为阴影部分的面积是(80－16)÷2＝ 32(平方厘米)， 所以原来的小正方形(正方形 A)的边长是32÷4＝8(厘米)， 面积是 8×8＝64(平 方厘米)。 A B 例 2 下面的整个图形是一个边长 40 厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。 解法一：图形的总面积是 40×40＝1600(平方厘米)。每个小空白正方形的对角线是 20 厘 米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以 2” ，每个空白小正方形的面积是 20×20÷2 ＝200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是 1600－200×4＝800(平方厘米)。 解法二：仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部 分的面积是 40×40÷2＝800(平方厘米)。 例 3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长 的和是 240 厘米，面积的和是 1000 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解：图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的 面积的和是 1000÷2＝500(平方厘米)。 一个小正方形和一个大正方形的边长的和是 240÷2÷4 ＝30(厘米)。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图 4 这个新正方形的面积是 30×30＝900(平方厘米)，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是 (900－500)÷2＝200(平方厘米)。 例 4 如图，矩形 ABCD 被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于 1，矩形 ABCD 的是多少？ A B D C 解：如果设右下角正方形的边长为 a，那么，左下角正方形的边长就是 a＋1，左上