四年级下数学思维训练教程(尖子生)

1 四年级下期 第一讲 定义新运算 同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四 则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。 例 1 设 a、b 都表示数，规定 a△b＝3a－2b。 1求 4△3，3△4。 2这种运算有“交换律”吗 3求17△6△2，17△6△2。 4这种运算有“结合律”吗 5如果已知 5△b＝1，求 b。 解像这样的题目叫做“定义新运算” 。这里， “△”当作一种新的运算符号来使用，它的 意义是如等号右端所要求的那样，先求出 3a 和 2b 的值，再求出 3a 与 2b 的差。弄 清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以 14△3＝34－23＝12－6＝6。3△4＝33－24＝9－8＝1。 2由1可知，4△3 与 3△4 的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。 317△6△2＝317－26△2＝51－12△2＝39△2＝339－22＝117－4＝ 113。 17△6△2＝17△36－22＝17△18－4＝17△14＝317－214＝51－28＝23。 4由3可知， 17△6△2 与 17△6△2 的结果不同， 所以， 这种运算也没有 “结合律” 。 5因为 5△b＝35－2b＝15－2b，而 15－2b＝1，所以 2b＝15－1，2b＝14，b＝7。 通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算 的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按 照它的意义进行运算。 例 2 如果 a＃b＝2a＋3b，a*b＝a＋b2，那么3*5＃7＝ 解 “＃”的意义是先求出 2a 和 3b，再求出 2a 与 3b 的和。 “*”的意义显然是 求 a、b 的平均数。 因为 3*5＝3＋52＝4，所以，3*5＃7＝4＃7＝24＋37＝29。 例 3 规定a＆b＝a＋a＋1＋a＋2＋＋a＋b－1，其中 a、b 表示自然数。 1求 1＆100 的值； 2已知 x＆10＝75，求 x。 解1 a＋a＋1＋a＋2＋＋a＋b－1 ＝1＋1＋1＋1＋2＋＋1＋100－1 ＝1＋2＋3＋＋100 ＝1＋1001002 ＝1011002 ＝5050。 2 x＋x＋1＋x＋2＋＋x＋10－1＝75 2 10 x＋1＋2＋＋9＝75 10 x＋45＝75 10 x＝75－45 10 x＝30 x＝3010 x＝3 例 4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表 示 羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。 以上运算的意思是羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只 剩下狼了。 小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号表示 羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。 这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼， 当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。 对羊或狼， 可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右， 括号内先算。 运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果 羊△狼★羊★羊△狼★狼。 解羊△狼★羊★羊△狼★狼 ＝羊△羊★羊△狼 ＝羊★羊△狼 ＝羊△狼 ＝狼 练 习 一 1．设 a、b 都表示数，规定a△b 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 a△b＝4a－3b。 试计算 15△6； 6△5。 2．a、b 是自然数，规定 a＊b＝a5＋b3，求 8＊9。 3．设 a▼b＝8a－18b，求 7▼9＝ 4．规定 ab＝a＋3b－5，求 567的值。 5．设 a▽b＝ab＋a－b，试求 5▽8。 6．如果规定 a※b＝13a－b8，那么 17※24 的最后结果是多少 7．设 a、b 都表示数，规定a△b＝2a＋b2。求 110△6； 27△4△8。 8．规定 A＠B＝BB－A，计算2＠3＠4＠5。 9．如果规定 a△b＝4a＋3b－1，那么 5△7 和 7△5 相等吗 10．对于两个数 x、y，x☉y 表示 yA－x2，并且已知 82☉65＝31。计算 3 129☉57；238☉14☉23。 11．如果 3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算 2000◇6。 12．如果“＋、－、、、 ”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数 字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式 187＝8；2777＝6；37＋8＋39＝39；433＝3。 第二讲 图形问题一 例 1 有大、小两个正方形，它们的周长相差 16 厘米，面积相差 80 平方厘米，那么小正 方形的面积是多少平方厘米 解 把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图， 因为它们的边长相差164＝4厘米， 所以图中正方形 B 的面积是 44＝16平方厘米，又因为阴影部分的面积是80－162＝ 32平方厘米， 所以原来的小正方形正方形 A的边长是324＝8厘米， 面积是 88＝64平 方厘米。 A B 例 2 下面的整个图形是一个边长 40 厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。 解法一图形的总面积是 4040＝1600平方厘米。每个小空白正方形的对角线是 20 厘 米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以 2” ，每个空白小正方形的面积是 20202 ＝200平方厘米，所以图中阴影部分的面积是 1600－2004＝800平方厘米。 解法二仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部 分的面积是 40402＝800平方厘米。 例 3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长 的和是 240 厘米，面积的和是 1000 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米 解图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的 面积的和是 10002＝500平方厘米。 一个小正方形和一个大正方形的边长的和是 24024 ＝30厘米。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图 4 这个新正方形的面积是 3030＝900平方厘米，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是 900－5002＝200平方厘米。 例 4 如图，矩形 ABCD 被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于 1，矩形 ABCD 的是多少 A B D C 解如果设右下角正方形的边长为 a，那么，左下角正方形的边长就是 a＋1，左上