（官方发布）2009年高考数学真题（理）（湖南）（解析卷）

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则【】 A．, B．, C. , D. , 2．对于非零向量“”是“”的【】 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【】 A． B． C. D. 4．如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应曲线和 , 则【】 A ． B ． C ． D ． 5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【】 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 6．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【】 A． B． C． D． 7．正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【】 A．2 B．3 C． 4 D．5 8．设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则【】 A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _. 10．在的展开式中，的系数为___(用数字作答). 11．若，则的最小值为 . 12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为 13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为。 14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为；（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 . 15．将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有，，… ， . 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）在中，已知，求角A，B，C的大小 17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。 18．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且（I）证明：平面平面；（II）求直线和平面所成角的正弦值。 19．（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 21．（本小题满分13分）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 , 则称数列为数列. （Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（Ⅱ）设是数列的前项和，给出下列两组论断； A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列; B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列都是数列，证明：数列也是数列。 2009年高考湖南理科数学试题及全解全析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（09湖南理）若，，则【 D 】 A．, B．, C. , D. , 解:由,，易知D正确. 2．（09湖南理）对于非零向量“”是“”的【 A 】 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件解:，；反之不成立，故选A. 3．（09湖南理）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【 D 】 A． B． C. D. 解:依题意得，，易知D正确. 4．（09湖南理）如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应曲线和 , 则【 B 】 A ． B ． C ． D ．解: 易知，故可排除C,D,再取特殊值，结合图像可得，故选B. 5．（09湖南理）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 解: 除开丙，由间接法得