十字相乘法进行因式分解详案

十字相乘法进行因式分解十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1 的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】【重点难点解析】 1 1．二次三项式．二次三项式 多项式ax bxc，称为字母x的二次三项式，其中ax 称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例 22 如，x 2x3和x 5x6都是关于x的二次三项式． 22 在多项式x 6xy 8y 中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是 关于y的二次三项式． 22在多项式2a b 7ab3中，把ab看作一个整体，即2ab 7ab3，就是关于ab 的二次三项 2 22 式．同样，多项式x y7x y12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式． 2 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2 2．十字相乘法的依据和具体内容．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用ax＋bcx＋d竖式乘法法则．它的一般规律是 （1）对于二次项系数为1 的二次三项式x  pxq，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且 2 a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式 x2a bxab  x axb 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项 式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为 负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax bxca，b，c都是整数且a≠0来说，如果存在四个整 2 数a 1,a2 ,c 1,c2 ，使a1a2 a，c1 c 2  c，且a 1c2 a 2c1  b， 2那么ax bxc a 1a2 x a 1c2 a 2c1xc1c2  a 1xc1a2 xc 2 它的特征是 “拆两头， 凑中间” ， 2 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1 的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的 办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时， 先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号 与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大 的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现一是没有认真 地验证交 叉相 乘的两 个积 的和是 否等 于一次 项系 数；二 是由 十字相 乘写 出的因 式漏 写字母 ．如 5x26xy 8y2 x25x4 3 3．因式分解一般要遵循的步骤．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法， 最后考虑分组 分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下 “首 先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】【典型热点考题】 例例 1 1把下列各式分解因式 2（1）x 2x15； （2）x 5xy 6y ． 22 点悟点悟 （1）常数项－15 可分为 3 －5，且 3＋－5＝－2 恰为一次项系数； （2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y 可分为－2y－3y，而－2y＋－3y＝－ 5y恰为一次项系数． 解解 （1）x 2x15x3x5； 2 2 （2）x 5xy 6y x2yx3y． 22 例例 2 2把下列各式分解因式 （1）2x 5x3； （2）3x 8x3． 22 点悟点悟我们要把多项式 ax bxc分解成形如ax 1 c 1 ax 2 c 2 的形式，这里a1a2 a，c1c2  c而 2 a 1c2 a 2c1  b． 解解 （1）2x 5x32x1x3；2 （2）3x8x33x1 x3． 2 点拨点拨二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机 性较大，往往要试验多次， 这是用十字相乘法分解的难点， 要适当增加练习， 积累经验， 才能提高速度和准确性． 例例 3 3把下列各式分解因式 （1）x 10 x 9；42 （2）7x y5x y2x y； 32 （3）a 8a22a 8a120． 222 点悟 （1）把x 看作一整体，从而转化为关于x的二次三项式； （2）提取公因式x＋y后，原式可转化为关于x＋y的二次三项式； （3）以a 8a为整体，转化为关于a 8a的二次三项式． 22 22 解解 （1）x 10 x 9x 1x 9 4222 ＝x＋1x－1x＋3x－3． （2） 7x y 5x y2x y 32  x y[7x y25x y2] ＝x＋y[x＋y－1][7x＋y＋2] ＝x＋yx＋y－17x＋7y＋2． （3） a 8a 22a 8a120 222  a28a12a28a10  a2a6a28a10 点拨点拨要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构 成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再 分解为止． 例例 4 4分解因式x 2x3x 2x2490．22 点悟点悟把x2x看作一个变量，利用换元法解之．2 解解设x 2x  y，则 2 原式＝y－3y－24＋90  y227y 162 ＝y－18y－9  x2 2x18x2 2x9． 点拨点拨本题中将x2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外， 2 y227y 162  y 18y 9一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例例 5 5分解因式6x 5x 38x 5x6．432 点悟点悟可考虑换元法及变形降次来解之． 解解原式 x [6x  22 11 5x 38] 2xx 11  x2[6x25x50]， xx 令x 1 y，则 x 22原式 x6y 5y 50 