（官方发布）2009年高考数学真题（理）（北京）（解析卷）

2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共40分） 注意事项 1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量不共线，如果，那么 A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则 到底面的距离为 A． B．1 C． D． 5．“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若为有理数），则 A．45 B．55 C．70 D．80 7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A．324 B．328 C．360 D．648 8．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 A．直线上的所有点都是“点” B．直线上仅有有限个点是“点” C．直线上的所有点都不是“点” D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．___________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10．若实数满足则的最小值为__________。 11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为______________。 12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为____________。 13．若函数 则不等式的解集为____________。 14．已知数列满足则________；____________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三 、解答题本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，。 （I）求的值； （Ⅱ）求的面积。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16．（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 （I）求证平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角并说 明理由。 17．（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。 （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。 18．（本小题共13分） 设函数 （I）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19．（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （I）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20．（本小题共13分） 已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。 （I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明，且 （Ⅲ）证明当时，成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 参考答案解析 1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A 9． 10． 11． 12． 13． 14．1，0 三 、解答题本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且， ∴， ∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又∵， ∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴. ∴△ABC的面积. 16．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PAAB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴， ∴在Rt△ABC中，，∴. ∴在Rt△ADE中，， ∴与平面所成的角的大小为. （Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. ∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时， 故存在点E使得二面角是直二面角. 17（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为. （Ⅱ）由题意可得，可能取的值为0，2，