（官方发布）2009年高考数学真题（文）（全国卷Ⅰ）（解析卷）

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）sin585的值为（ ） A．B．C．D． 【考点】GE诱导公式．菁优网版权所有 【分析】由sin（α2kπ）sinα、sin（απ）﹣sinα及特殊角三角函数值解之． 【解答】解sin585sin（585﹣360）sin225sin（45180）﹣sin45﹣， 故选A． 【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值． 2．（5分）设集合A{4，5，7，9}，B{3，4，7，8，9}，全集UA∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ） A．3个B．4个C．5个D．6个 【考点】1H交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解． 【解答】解A∪B{3，4，5，7，8，9}， A∩B{4，7，9}∴∁U（A∩B）{3，5，8}故选A． 也可用摩根律∁U（A∩B）（∁UA）∪（∁UB） 故选A． 【点评】本题考查集合的基本运算，较简单． 3．（5分）不等式＜1的解集为（ ） A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0} 【考点】7E其他不等式的解法．菁优网版权所有 【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值． 【解答】解∵＜1， ∴|x1|＜|x﹣1|， ∴x22x1＜x2﹣2x1． ∴x＜0． ∴不等式的解集为{x|x＜0}． 故选D． 【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有利用绝对值的意义、讨论和平方． 4．（5分）已知tana4，cotβ，则tan（aβ）（ ） A．B．﹣C．D．﹣ 【考点】GP两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11计算题． 【分析】由已知中cotβ，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案． 【解答】解∵tana4，cotβ， ∴tanβ3 ∴tan（aβ）﹣ 故选B． 【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键． 5．（5分）已知双曲线﹣1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率为（ ） A．B．2C．D． 【考点】KC双曲线的性质；KH直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11计算题． 【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得． 【解答】解由题双曲线的一条渐近线方程为， 代入抛物线方程整理得ax2﹣bxa0， 因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a20， 即， 故选C． 【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题． 6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）12lgx（x＞0），则f（1）g（1）（ ） A．0B．1C．2D．4 【考点】4R反函数．菁优网版权所有 【专题】11计算题． 【分析】将x1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）1时x的值即可．从而解决问题． 【解答】解由题令12lgx1 得x1， 即f（1）1， 又g（1）1， 所以f（1）g（1）2， 故选C． 【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力． 7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A．150种B．180种C．300种D．345种 【考点】D1分类加法计数原理；D2分步乘法计数原理．菁优网版权所有 【专题】5O排列组合． 【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型． 【解答】解分两类（1）甲组中选出一名女生有C51C31C62225种选法； （2）乙组中选出一名女生有C52C61C21120种选法．故共有345种选法． 故选D． 【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步 8．（5分）设非零向量、、满足，则（ ） A．150B．120C．60D．30 【考点】9S数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形． 【解答】解由向量加法的平行四边形法则， ∵两个向量的模长相等 ∴、可构成菱形的两条相邻边， ∵ ∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长， ∴两个向量的夹角是120， 故选B． 【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体． 9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ） A．B．C．D． 【考点】LO空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之． 【解答】解设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角； 并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|，|A1D|，|A1B|， 由余弦定理，得cosθ． 故选D． 【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理． 10．（5分）如果函数y3cos（2xφ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A．B．C．D． 【考点】HB余弦函数的对称性．菁优网版权所有 【专题】11计算题． 【分析】先根据函数y3cos（2xφ）的图象关于点中心对称，令x代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值． 【解答】解∵函数y3cos（2xφ）的图